Question

设椭圆ax²+by²=1与直线x+y-1=0相交于A、B两点，点C是AB的中点，若|AB|=2，OC的斜率为，求椭圆的方程．

Answer 1

【答案】分析：先根据题意设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），那么A、B的坐标是方程组的解．两式相减，得出b与a的关系，再由方程组消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得a，b值，从而求得椭圆的方程．
解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），那么A、B的坐标是方程组的解．
由ax+by=1，ax+by=1，两式相减，得
a（x₁+x₂）（x₁-x₂）+b（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
因为=-1，
所以=，
即=，==，所以b=a①
再由方程组消去y得（a+b）x²-2bx+b-1=0，
由|AB|===
=2，
得（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4，即（）²-4•=4．②
由①②解得a=，b=，
故所求的椭圆的方程为+=1．
点评：本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，将A、B两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线AB斜率的等式，再利用对称点所连线段被对称轴垂直平分来列式求解．