【题目】已知曲线T上的任意一点到两定点的距离之和为,直线l交曲线T于A、B两点,为坐标原点.
(1)求曲线的方程;
(2)若不过点且不平行于坐标轴,记线段AB的中点为M,求证:直线的斜率与l的斜率的乘积为定值;
(3)若OAOB,求△面积的取值范围.
【答案】(1)(2)证明过程详见解析(3)
【解析】
(1)利用椭圆的定义可知曲线为的椭圆,直接写出椭圆的方程.
(2)设直线l:y=kx+b,(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),,联立直线方程与椭圆方程,通过韦达定理求解KOM,然后推出直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.
(3)当直线OA,OB分别与坐标轴重合时,△AOB的面积,当直线OA,OB的斜率均存在且不为零时,设OA:y=kx,OB:y,将y=kx代入椭圆C,得到A点坐标,同理得到B点坐标,由利用换元法结合已知条件能求出△AOB的面积的取值范围.
解:(1)由题意知曲线是以原点为中心,长轴在轴上的椭圆,
设其标准方程为,则有,
所以,∴ .
(2)证明:设直线的方程为,
设
则由 可得,即
∴,∴ ,
,
,
∴直线的斜率与 的斜率的乘积=为定值
(3)当直线、分别与坐标轴重合时,易知的面积,
当直线、的斜率均存在且不为零时,设直线、的方程为:, 点,
由 可得,
∴,代入得 ,
同理可得,
∴
令,,
则
由知 ,
综上可知, .
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【题目】第23届冬季奥运会于2018年2月9日至2月25日在韩国平昌举行,期间正值我市学校放寒假,寒假结束后,某校工会对全校教职工在冬季奥运会期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查,得到如下频数分布表:
收看时间(单位:小时) | [0,1) | [1,2) | [2,3) | [3,4) | [4,5) | [5,6) |
收看人数 | 14 | 30 | 16 | 28 | 20 | 12 |
(1)若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“体育达人”,否则定义为“非体育达人”,请根据频数分布表补全列联表:
男 | 女 | 合计 | |
体育达人 | 40 | ||
非体育达人 | 30 | ||
合计 |
并判断能否有90%的把握认为该校教职工是否为“体育达人”与“性别”有关;
(2)在全校“体育达人”中按性别分层抽样抽取6名,再从这6名“体育达人”中选取2名作冬奥会知识讲座.求抽取的这两人恰好是一男一女的概率.
附表及公式:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】某市规定,高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区服务才合格.某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据,按时间段(单位:小时)进行统计,其频率分布直方图如图所示.
(1)求抽取的20人中,参加社区服务时间不少于90小时的学生人数;
(2)从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人,求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率.
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【题目】已知关于实数x的一元二次方程.
Ⅰ若a是从区间中任取的一个整数,b是从区间中任取的一个整数,求上述方程有实根的概率.
Ⅱ若a是从区间任取的一个实数,b是从区间任取的一个实数,求上述方程有实根的概率.
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【题目】某科技创新公司投资万元研发了一款网络产品,产品上线第1个月的收入为40万元,预计在今后若干个月内,该产品每月的收入平均比上一月增长,同时,该产品第1个月的维护费支出为万元,以后每月的维护费支出平均比上一个月增加50万元.
(1)分别求出第6个月该产品的收入和维护费支出,并判断第6个月该产品的收入是否足够支付第6个月的维护费支出?
(2)从第几个月起,该产品的总收入首次超过总支出?(总支出包括维护费支出和研发投资支出)
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【题目】某产品的三个质量指标分别为x, y, z, 用综合指标S =" x" + y + z评价该产品的等级. 若S≤4, 则该产品为一等品. 现从一批该产品中, 随机抽取10件产品作为样本, 其质量指标列表如下:
产品编号 | A1 | A2 | A3 | A4 | A5 |
质量指标(x, y, z) | (1,1,2) | (2,1,1) | (2,2,2) | (1,1,1) | (1,2,1) |
产品编号 | A6 | A7 | A8 | A9 | A10 |
质量指标(x, y, z) | (1,2,2) | (2,1,1) | (2,2,1) | (1,1,1) | (2,1,2) |
(Ⅰ) 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率;
(Ⅱ) 在该样品的一等品中, 随机抽取两件产品,
(1) 用产品编号列出所有可能的结果;
(2) 设事件B为 “在取出的2件产品中, 每件产品的综合指标S都等于4”, 求事件B发生的概率.
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【题目】甲、乙二人同时从地赶往地,甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步;乙先跑步两地的中点再改为骑自行车,最后两人同时到达地.甲骑自行车比乙骑自行车的速度快,并且两人骑车的速度均大于跑步的速度.现将两人离开地的距离与所用时间的函数关系用图像表示如下,则这四个函数图像中,甲、乙两个运动函数关系的分别是( )
A.①、②B.①、④C.②、③D.③、④
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【题目】已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆C的离心率为,且经过点M(1,),过点P(2,1)的直线l与椭圆C相交于不同的两点A,B.
(1)求椭圆C的方程;
(2)是否存在直线l,满足?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
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