分析 (1)设等差数列{an}的公差为d≠0,由a1,a2,a4成等比数列,可得${a}_{2}^{2}$=a1a4,解得d.可得an.于是an•(-3)n=2n•(-3)n.再利用“错位相减法”与等比数列的求和公式可得:{an•(-3)n}的前2n项和T2n.
(2)利用“裂项求和”方法及其数列的单调性即可得出.
解答 解:(1)设等差数列{an}的公差为d≠0,∵a1,a2,a4成等比数列,∴${a}_{2}^{2}$=a1a4,
∴(2+d)2=2(2+3d),解得d=2.
∴an=2+2(n-1)=2n.
an•(-3)n=2n•(-3)n.
∴{an•(-3)n}的前2n项和T2n=2[-3+2×(-3)2+…+(2n-1)•(-3)2n-1+(2n)•(-3)2n],
-3T2n=2[(-3)2+2×(-3)3+…+(2n-1)•(-3)2n+(2n)•(-3)2n+1],
∴4T2n=2[(-3)+(-3)2+…+(-3)2n-(2n)•(-3)2n+1]
=2[$\frac{-3[1-(-3)^{2n}]}{1-(-3)}$-(2n)•(-3)2n+1]=$\frac{(1+8n)•{3}^{2n+1}}{2}$-$\frac{3}{2}$,
∴T2n=$\frac{(1+8n)•{3}^{2n+1}-3}{8}$.
(2)由(1)可得:Sn=$\frac{n(2+2n)}{2}$=n(n+1).
∴bn=$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n+1}}$+$\frac{{S}_{n+1}}{{S}_{n}}$=$\frac{n(n+1)}{(n+1)(n+2)}$+$\frac{(n+1)(n+2)}{n(n+1)}$=$\frac{n}{n+2}$+$\frac{n+2}{n}$=2+2$(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2})$,
∴数列{bn}的前n项和为Pn=2n+2$[(1-\frac{1}{3})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})$+$(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})$+…+$(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1})$+$(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2})]$
=2n+2(1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$)=2n+3-2$(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+2})$,
可得Pn<2n+3=an+3,即Pn<an+3.
点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、“错位相减法”、“裂项求和”方法、数列的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | {x|x<-1或1<x<2} | B. | {x|1<x<2} | C. | {x|-1<x<2且x≠1} | D. | {x|x<2且x≠1} |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | -1 | B. | 2 | C. | -1或2 | D. | $\frac{1}{2}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{2}{5}$ | B. | $\frac{3}{5}$ | C. | $\frac{6}{5}$ | D. | $\frac{8}{5}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | -i | B. | i | C. | $\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$i | D. | $\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$i |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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