Question

在如图所示的数表中，第i行第j列的数记为a_i，j，且满足a_1，j=2^j-1，a_i，1=i，a_i+1，j+1=a_i，j+a_i+1，j（i，j∈N^*）；又记第3行的数3，5，8，13，22，39，…为数列{b_n}．则
（Ⅰ）此数表中的第2行第8列的数为

129

；
（Ⅱ）数列{b_n}的通项公式为

b_n=2^n-1+n+1

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可得a_2．j=a_1．j+1，故有a_2.8 =a_1.7+a_2.7 =a_1.7+a_1.7+1，运算求得结果．
（Ⅱ）由题意可得 b₁=3，b₂-b₁=2，b₃-b₂=2+1，b₄-b₃=2²+1，b₅-b₄=2³+1，b₆-b₅=2⁴+1，…b_n-b_n-1=2^n-2+1，累加，利用等比数列的求和公式可得数列{b_n}的通项公式．

解答：解：（Ⅰ）由题意可得a_2．j=a_1．j+1，故有 a_2.8 =a_1.7+a_2.7 =a_1.7+a_1.7+1=2×2⁶+1=129．
故答案为 129．
（Ⅱ）由题意可得b₁=3，b₂=5，当n≥3时，b_n=2^n-2+1+b_n-1，即 b_n-b_n-1=2^n-2+1．
由 b₁=3，b₂-b₁=2，b₃-b₂=2+1，b₄-b₃=2²+1，b₅-b₄=2³+1，b₆-b₅=2⁴+1，…b_n-b_n-1=2^n-2+1，
累加可得 b_n=3+2+（2+1）+（2²+1）+（2³+1）+（2⁴+1）+…+（2^n-2+1）
=5+（2+2²+2³+…+2^n-2）+（n-2）×1=

2(1-2n-2)

1-2

+n+3=2^n-1+n+1，
故答案为  b_n=2^n-1+n+1．

点评：本题主要考查数列的函数特性，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式的应用，用累加法进行求和，属于
中档题．