Question

4．已知$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$是非零向量，且向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$的夹角为$\frac{π}{3}$，若向量$\overrightarrow p=\frac{\overrightarrow a}{|\overrightarrow a|}+\frac{\overrightarrow b}{|\overrightarrow b|}$，则$|\overrightarrow p|$=（　　）

• A． $2+\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{2+\sqrt{3}}$
• C． 3
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由题意可知$|\frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}|=|\frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}|=1$，且向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$的夹角为$\frac{π}{3}$，然后求得$|\overrightarrow{p}{|}^{2}$，则答案可求．

解答 解：∵$|\frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}|=|\frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}|=1$，且向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$的夹角为$\frac{π}{3}$，
∴$|\overrightarrow{p}{|}^{2}=（\frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}+\frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}）^{2}$=$（\frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}）^{2}+2\frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}•\frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}+（\frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}）^{2}$=$1+2×1×1×\frac{1}{2}+1=3$．
∴$|\overrightarrow p|$=$\sqrt{3}$．
故选：D．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，关键是明确$\frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$的几何意义，是中档题．