Question

在平面直角坐标系xOy中，动点p（x，y）（x≥0）满足：点p到定点F（

1

2

，0）与到y轴的距离之差为

1

2

．记动点p的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）过点F的直线交曲线C于A、B两点，过点A和原点O的直线交直线x=-

1

2

于点D，求证：直线DB平行于x轴．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,转化思想,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用动点p（x，y）（x≥0）满足：点p到定点F（

1

2

，0）与到y轴的距离之差为

1

2

．列出关系式，即可求曲线C的轨迹方程；
（2）过点F的直线交曲线C于A、B两点，过点A和原点O的直线交直线x=-

1

2

于点D，设A的坐标为（

y02

2

，y0），求出OM的方程为y=

2

y0

x（y₀≠0），推出点D的纵坐标然后求出直线AF的方程，求出点B的纵坐标，判断直线DB平行于x轴．即可得到结果．

解答： 解：（1）依题意：|PF|-x=

1

2

…（2分）
∴

(x- 1 2 )2+y2

=

1

2

+x （x-

1

2

）²+y²=（x+

1

2

）²…（4分）
∴y²=2x…（6分）
注：或直接用定义求解．
（2）设A的坐标为（

y02

2

，y0），则OM的方程为y=

2

y0

x（y₀≠0），
∴点D的纵坐标为y=-

1

y0

，
∵F（

1

2

，0）
∴直线AF的方程为y=

y0

y02 2 - 1 2

(x-

1

2

)，(y02≠1)
∴点B的纵坐标为y=-

1

y0

．
∴BD∥x轴；当y₀²=1时，结论也成立，
∴直线DB平行于x轴．

点评：本题考查曲线轨迹方程的求法，直线与圆锥曲线的位置关系，直线方程的应用，考查分析问题解决问题的能力．