Question

【题目】已知函数f（x）=lnx+x2﹣2ax+1（a为常数）
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若对任意的a∈（1， ），都存在x0∈（0，1]使得不等式f（x0）+lna＞m（a﹣a2）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：函数f（x）=lnx+x2﹣2ax+1（a为常数）

f′（x）= +2x﹣2a= ，x＞0，

①当a≤0时，f′（x）＞0成立，

若f′（x）≥0，则2x2﹣2ax+10≥0，△=4a2﹣8，

当﹣ 时，f′（x）≥0恒成立，

所以当a 时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，

②当a 时，

∵2x2﹣2ax+10≥0，x 或0

2x2﹣2ax+10＜0， ，

∴f（x）在（0， ），（ ）上单调递增，

在（ ， ）单调递减

（2）

∵a∈（1， ）， +2x﹣2a＞0，

∴f′（x）＞0，f（x）在（0，1]单调递增，

f（x）max=f（1）=2﹣2a，

存在x0∈（0，1]使得不等式f（x0）+lna＞m（a﹣a2）成立，

即2﹣2a+lna＞m（a﹣a2），

∵任意的a∈（1， ），

∴a﹣a2＜0，

即m＞ 恒成立，

令g（a）= ，

∵m＞ 恒成立 最后化简为g′（a）= =

∵任意的a∈（1， ），

＞0，

∴g（a）= ，a∈（1， ）是增函数．

∴g（x）＜g（ ）= + =

∴实数m的取值范围m≥

【解析】（1）求解f′（x）= +2x﹣2a= ，x＞0，判断2x2﹣2ax+10的符号，分类得出①当a≤0时，f′（x）＞0成立，当﹣ 时，f′（x）≥0恒成立，
即可得出当a 时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，②当a 时，求解不等式2x2﹣2ax+10≥0，2x2﹣2ax+10＜0，得出f（x）在（0， ），（ ）上单调递增，在（ ， ）单调递减，（2）f（x）max=f（1）=2﹣2a，存在x0∈（0，1]使得不等式f（x0）+lna＞m（a﹣a2）成立，即2﹣2a+lna＞m（a﹣a2），m＞ 恒成立，构造函数g（a）= ，利用导数求解即可转化为最值即可判断．
【考点精析】认真审题，首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减)，还要掌握函数的最大(小)值与导数(求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值)的相关知识才是答题的关键．