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已知f(x)定义域为R,满足:
①f(1)=1>f(-1);
②对任意实数x,y,有f(y-x+1)=f(x)f(y)+f(x-1)f(y-1).
(Ⅰ)求f(0),f(3)的值;
(Ⅱ)求的值;
(Ⅲ)是否存在常数A,B,使得不等式|f(x)+f(2-x)+Ax+B|≤2对一切实数x成立.如果存在,求出常数A,B的值;如果不存在,请说明理由.
【答案】分析:(1)取x=y=1,利用f(1)=1,求出f(0)=0;取x=y=0,求出f(-1)=-1;再取x=0,y=2,可求f(3)=-1.
(Ⅱ)在f(y-x+1)=f(x)f(y)+f(x-1)f(y-1)中,取y=1得f(2-x)=f(x);取y=x,得f2(x)+f2(x-1)=1;取x=0,得f(-2)=0;取y=-1,f(-x)=-f(x);取y=-x,得f(1-2x)=1-2f2(x),所以,对任意实数x均成立.
(Ⅲ)将一致的不等式进行等价转化为?|2f(x)+Ax+B|≤2,令x分别等于1、-1、3,可得A、B的值,再由(Ⅱ)知:f(x)|≤1对一切实数x成立,故当A=B=0时,|2f(x)+Ax+B|≤2对一切实数x成立.从而得到结论.
解答:解:(Ⅰ)取x=y=1,得f(1-1+1)=f(1)•f(1)+f(1-1)•f(1-1),
即f(1)=f2(1)+f2(0).
因为f(1)=1,所以f(0)=0.(1分)
取x=y=0,得1=f(1)=f2(-1).因为f(1)=1>f(-1),
所以f(-1)=-1.
取x=0,y=2,得f(3)=f(0)•f(2)+f(-1)•f(1),
所以f(3)=-1;(3分)
(Ⅱ)在f(y-x+1)=f(x)f(y)+f(x-1)f(y-1)
中取y=1得f(2-x)=f(x).
所以f(1+x)=f(1-x).
在f(y-x+1)=f(x)f(y)+f(x-1)f(y-1)中取y=x,
得f2(x)+f2(x-1)=1.
在f(y-x+1)=f(x)f(y)+f(x-1)f(y-1)中取x=0,
得f(y+1)=f(0)f(y)+f(-1)f(y-1)=-f(y-1).
所以f(-2)=0.
在f(y-x+1)=f(x)f(y)+f(x-1)f(y-1)中取y=-1,
得f(-x)=f(x)f(-1)+f(x-1)f(-2).
所以f(-x)=-f(x).
在f(y-x+1)=f(x)f(y)+f(x-1)f(y-1)中取y=-x,
得f(1-2x)=f(x)f(-x)+f(x-1)f(-x-1)
=-f2(x)-f(x-1)f(x+1)
=-f2(x)-f(x-1)f(1-x)
=-f2(x)+f2(x-1)=1-2f2(x).
所以对任意实数x均成立.
所以.(9分)
(Ⅲ)由(Ⅱ)知f(2-x)=f(x),
∴|f(x)+f(2-x)+Ax+B|≤2?|2f(x)+Ax+B|≤2,
在|2f(x)+Ax+B|≤2中,
取x=-1,得-2≤-2-A+B≤2,即-2≤2+A-B≤2①
取x=1,得-2≤2+A+B≤2②
取x=3,得-2≤-2+3A+B≤2,即-2≤2-3A-B≤2③
②+①得A≤0,②+③得A≥0.∴A=0.
将A=0代入①得B≥0.
将A=0代入②得B≤0.∴B=0.
由(Ⅱ)知f2(x)+f2(x-1)=1,所以|f(x)|≤1对一切实数x成立.
故当A=B=0时,|2f(x)+Ax+B|≤2对一切实数x成立.
∴存在常数A=B=0,使得不等式|f(x)+f(2-x)+Ax+B|≤2对一切实数x成立,
且A=B=0为满足题设的唯一一组值.(14分)
点评:本题考查抽象函数的性质及应用,体现等价转化的数学思想.
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知f(x)定义域为R,满足:
①f(1)=1>f(-1);
②对任意实数x,y,有f(y-x+1)=f(x)f(y)+f(x-1)f(y-1).
(Ⅰ)求f(0),f(3)的值;
(Ⅱ)求
12
f(1-6x)+f2(3x)
的值;
(Ⅲ)是否存在常数A,B,使得不等式|f(x)+f(2-x)+Ax+B|≤2对一切实数x成立.如果存在,求出常数A,B的值;如果不存在,请说明理由.

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附加题
已知f(x)定义域为R,满足:①f(1)=1>f(-1);②对任意实数x,y,有f(y-x+1)=f(x)f(y)+f(x-1)f(y-1).
(1)求f(0),f(3)的值;(2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由.(3)求
12
f(1-2x)+f2(x)
的值.

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①f(1)=1>f(-1);
②对任意实数x,y,有f(y-x+1)=f(x)f(y)+f(x-1)f(y-1).
(Ⅰ)求f(0),f(3)的值;
(Ⅱ)判断函数的奇偶性与周期性,并求f2(3x)+f2(3x-1)的值;
(Ⅲ)是否存在常数A,B,使得不等式|f(x)+f(2-x)+Ax+B|≤2对一切实数x成立.如果存在,求出常数A,B的值;如果不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知f(x)定义域为R,满足:
①f(1)=1>f(-1);
②对任意实数x,y,有f(y-x+1)=f(x)f(y)+f(x-1)f(y-1).
(Ⅰ)求f(0),f(3)的值;
(Ⅱ)求数学公式的值;
(Ⅲ)是否存在常数A,B,使得不等式|f(x)+f(2-x)+Ax+B|≤2对一切实数x成立.如果存在,求出常数A,B的值;如果不存在,请说明理由.

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