Question

【题目】平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 的左焦点为F，离心率为 ，过点F且垂直于长轴的弦长为 ．
（I）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设点A，B分别是椭圆的左、右顶点，若过点P（﹣2，0）的直线与椭圆相交于不同两点M，N．
（i）求证：∠AFM=∠BFN；
（ii）求△MNF面积的最大值．

Answer 1

【答案】解：（I）由题意可得 ，

令x=﹣c，可得y=±b =± ，

即有 ，又a2﹣b2=c2，

所以 ．

所以椭圆的标准方程为 ；

（II）方法一、（i）当AB的斜率为0时，显然∠AFM=∠BFN=0，满足题意；

当AB的斜率不为0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB方程为x=my﹣2，

代入椭圆方程，整理得（m2+2）y2﹣4my+2=0，

则△=16m2﹣8（m2+2）=8m2﹣16＞0，所以m2＞2．

，

可得 =

= ．

则kMF+kNF=0，即∠AFM=∠BFN；

（ii）

当且仅当 ，即m2=6．（此时适合△＞0的条件）取得等号．

则三角形MNF面积的最大值是 ．

方法二（i）由题知，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为：y=k（x+2），

设A（x1，y1），B（x2，y2），

联立 ，整理得（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣2=0，

则△=64k4﹣4（1+2k2）（8k2﹣2）=8﹣16k2＞0，所以 ．

，

可得

=

∴kMF+kNF=0，即∠AFM=∠BFN；

（ii） ，

点F（﹣1，0）到直线MN的距离为 ，

即有 = = ．

令t=1+2k2，则t∈[1，2），u（t）= ，

当且仅当 ，即 （此时适合△＞0的条件）时， ，

即 ，则三角形MNF面积的最大值是 ．

【解析】（1）运用椭圆的离心率公式和过焦点垂直于对称轴的弦长，结合a，b，c的关系解得a，b，可得椭圆的方程；（II）方法一、（i）讨论直线AB的斜率为0和不为0，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB方程为x=my﹣2，代入椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，运用直线的斜率公式求斜率之和，即可得证；（ii）求得△MNF的面积 ，化简整理，运用基本不等式可得最大值．方法二、（i）由题知，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为：y=k（x+2），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立椭圆方程，消去y，可得x的方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由直线的斜率公式，求得即可得证；（ii）求得弦长|MN|，点F到直线的距离d，运用三角形的面积公式，化简整理，运用换元法和基本不等式，即可得到所求最大值．