Question

已知f(x)=

1

x-1

，x∈[2，6]
（1）证明：f（x）是定义域上的减函数；   （2）求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）利用单调性的定义，取值，作差，变形，定号，即可证得；
（2）由（1）函数的单调性，即可求f（x）的最大值和最小值．

解答：（1）证明：设2≤x₁＜x₂≤6，则f(x1)-f(x2)=

1

x1-1

-

1

x2-1

=

x2-x1

(x1-1)(x2-1)

因为x₁-1＞0，x₂-1＞0，x₂-x₁＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
所以f（x）是定义域上的减函数（5分）
（2）解：由（1）的结论可得，fmin(x)=f(6)=

1

5

，fmax(x)=f(2)=1
∴f（x）的最大值为1，最小值为

1

5

（5分）

点评：本题以函数为载体，考查函数的单调性，考查函数的最值，解题的关键是利用单调性的定义证明函数的单调性．