Question

16．设函数f（x）=$\frac{{a}^{2x}-（t-1）}{{a}^{x}}$（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．
（1）求t的值；
（2）若f（1）＞0，求使不等式f（kx-x²）+f（x-1）＜0对一切x∈R恒成立的实数k的取值范围；
（3）若函数f（x）的图象过点（1，$\frac{3}{2}$），是否存在正数m，且m≠1使函数g（x）=log_m[a^2x+a^-2x-mf（x）]在[1，log₂3]上的最大值为0，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由奇函数的性质可知f（0）=0，得出t=2；
（2）由f（1）＞0得$a-\frac{1}{a}＞0$又a＞0，求出a＞1，判断函数的单调性f（x）=a^x-a^-x为R上的增函数，不等式整理为x²-（k+1）x+1＞0对一切x∈R恒成立，利用判别式法求解即可；
（3）把点代入求出a=2，假设存在正数m，构造函数设t=2^x-2^-x则（2^x-2^-x）²-m（2^x-2^-x）+2=t²-mt+2，对底数m进行分类讨论，判断m的值．

解答 （1）f（x）是定义域为R的奇函数
∴f（0）=0，
∴t=2；
（2）由（1）得f（x）=a^x-a^-x，
∵f（1）＞0得$a-\frac{1}{a}＞0$又a＞0
∴a＞1，
由f（kx-x²）+f（x-1）＜0得f（kx-x²）＜-f（x-1），
∵f（x）为奇函数，
∴f（kx-x²）＜f（1-x），
∵a＞1∴f（x）=a^x-a^-x为R上的增函数，
∴kx-x²＜1-x对一切x∈R恒成立，即x²-（k+1）x+1＞0对一切x∈R恒成立
故△=（k+1）²-4＜0解得-3＜k＜1
（3）函数f（x）的图象过点（1，$\frac{3}{2}$），
∴a=2，假设存在正数m，且m≠1符合题意，由a=2得$g（x）={log_m}[{a^{2x}}+{a^{-2x}}-mf（x）]$=${log_m}[{2^{2x}}+{2^{-2x}}-m（{2^x}-{2^{-x}}）]$=${log_m}[{（{2^x}-{2^{-x}}）^2}-m（{2^x}-{2^{-x}}）+2]$
设t=2^x-2^-x则（2^x-2^-x）²-m（2^x-2^-x）+2=t²-mt+2，
∵x∈[1，log₂3]，
∴$t∈[\frac{3}{2}，\frac{8}{3}]$记h（t）=t²-mt+2，
∵函数$g（x）={log_m}[{a^{2x}}+{a^{-2x}}-mf（x）]$在[1，log₂3]上的最大值为0，
∴（ⅰ）若0＜m＜1时，则函数h（t）=t²-mt+2在$[\frac{3}{2}，\frac{8}{3}]$有最小值为1
由于对称轴$t=\frac{m}{2}＜\frac{1}{2}$∴${h_{min}}（t）=h（\frac{3}{2}）=\frac{17}{4}-\frac{3}{2}m=1$$⇒m=\frac{13}{6}$，不合题意
（ⅱ）若m＞1时，则函数h（t）=t²-mt+2＞0在$[\frac{3}{2}，\frac{8}{3}]$上恒成立，且最大值为1，最小值大于0
①$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}＜\frac{m}{2}≤\frac{25}{12}\\ h{（t）_{max}}=h（\frac{8}{3}）=1\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}1＜m≤\frac{25}{6}\\ m=\frac{73}{24}\end{array}\right.⇒m=\frac{73}{24}$
又此时$\frac{m}{2}=\frac{73}{48}∈[{\frac{3}{2}，\frac{8}{3}}]$，$又h{（t）_{min}}=h（\frac{73}{48}）＜0$
故g（x）在[1，log₂3]无意义
所以$m=\frac{73}{24}应舍去$
②$\left\{\begin{array}{l}\frac{m}{2}＞\frac{25}{12}\\ h{（t）_{max}}=h（\frac{3}{2}）=1\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}m＞\frac{25}{6}\\ m=\frac{13}{6}\end{array}\right.⇒m$无解，
综上所述：故不存在正数m，使函数$g（x）={log_m}[{a^{2x}}+{a^{-2x}}-mf（x）]$在[1，log₂3]上的最大值为0．

点评 考查了奇函数的性质，利用奇函数的性质整理不等式，利用构造函数，用分类讨论的方法解决实际问题．