Question

如图△ABC内接于圆O，AB=AC，直线MN切圆O于点C，BD∥MN，AC与BD相交于点E．
（1）求证：AE=AD；
（2）若AB=6，BC=4，求AE．

Answer 1

【答案】分析：（1）证明AE=AD，只需证明∠AED=∠ADB．先证明∠AED=∠ABC，再证明∠AED=∠ACB即可；
（2）先证明△ABE≌△ACD，可得BE=CD=BC=4，设AE=x，利用△ABE∽△DEC，可得DE=x，利用相交弦定理，即可求得结论．
解答：（1）证明：∵BD∥MN，∴∠AED=∠ACN．
又∵MN为圆的切线，∴∠ACN=∠ABC，∴∠AED=∠ABC．
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB
∴∠AED=∠ACB．
又∵∠ADB=∠ACB，∴∠AED=∠ADB
∴AE=AD …（5分）
（2）解：∵∠ACD=∠ABD，∠CAD=∠CAB，AE=AD，
∴△ABE≌△ACD，∴BE=CD=BC=4
设AE=x，∵∠ECD=∠BEA，∠AEB=∠DCE
∴△ABE∽△DEC
∴DE=x，
∵AE×EC=BE×ED，
∴x×（6-x）=4×
∴x=  …（10分）
点评：本题考查圆内接四边的性质，考查三角形的全等与相似，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．