Question

如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E．
（1）证明：△ABE∽△ADC；
（2）若△ABC的面积S=

1

2

AD•AE，求∠BAC的大小．

Answer 1

证明：（1）由已知△ABC的角平分线为AD，
可得∠BAE=∠CAD
因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，
所以∠AEB=∠ACD
故△ABE∽△ADC．
（2）因为△ABE∽△ADC，
所以

AB

AE

=

AD

AC

，
即AB•AC=AD•AE．
又S=

1

2

AB•ACsin∠BAC，
且S=

1

2

AD•AE，
故AB•ACsin∠BAC=AD•AE．
则sin∠BAC=1，
又∠BAC为三角形内角，
所以∠BAC=90°．