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已知数列{an}满足an≠0,a1=
1
3
,an-1-an=2an•an-1(n≥2,n∈N*).
(1)求证:(
1
an
)
是等差数列;
(2)证明:a12+a22+…+an2
1
4
考点:数列与不等式的综合,数列递推式
专题:等差数列与等比数列
分析:(1)通过已知条件推出
1
an
-
1
an-1
=2
,即可判断(
1
an
)
是等差数列;
(2)利用放缩法以及裂项法求解数列的和,即可证明a12+a22+…+an2
1
4
解答: 证明:(1)∵an-1-an=2an•an-1(n≥2)
1
an
-
1
an-1
=2
(n≥2)
{
1
an
}
是以3为首项,2为公差的等差数列.…(6分)
(2)由(1)知:
1
an
=3+(n-1)•2=2n+1

an=
1
2n+1
…(8分)
an2=
1
(2n+1)2
1
4n2+4n
=
1
4n(n+1)
=
1
4
(
1
n
-
1
n+1
)

a12+a22+…+an2
1
4
(
1
1
-
1
2
)+
1
4
(
1
2
-
1
3
)+…+
1
4
(
1
n
-
1
n+1
)
1
4
(
1
1
-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
n
-
1
n+1
)

=
1
4
(1-
1
n+1
)<
1
4
.…(12分)
点评:本题考查数列与不等式的综合应用,等差数列的判断,放缩法以及裂项法的应用,考查分析问题解决问题的能力.
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24
25
,a∈(-
π
2
π
2
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x2
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-
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2
B、
2
2
C、
1
2
D、2

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A、
17
6
B、
13
6
C、
7
2
D、
10
3

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1
2
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的导数.

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若α的终边与单位圆交于点(
1
2
,-
3
2
),则cosα=(  )
A、
1
2
B、-
1
2
C、
3
2
D、-
3
2

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