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精英家教网设f(x)=ax3+bx2+cx的极小值为-8,其导函数y=f′(x)的图象经过点(-2,0),(
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,0)
,如图所示,
(1)求f(x)的解析式;
(2)若对x∈[-3,3]都有f(x)≥m2-14m恒成立,求实数m的取值范围.
分析:(1)求出y=f'(x),因为导函数图象经过(-2,0)和(
2
3
,0),代入即可求出a、b、c之间的关系式,再根据图象可知函数的单调性,而f(x)极小值为-8可得f(-2)=-8,解出即可得到a、b、c的值;
(2)根据函数增减性求出函数在区间[-3,3]的最小值大于等于m2-14m,即可求出m的范围.
解答:解:(1)∵f'(x)=3ax2+2bx+c,且y=f'(x)的图象经过点(-2,0),(
2
3
,0)

-2+
2
3
=-
2b
3a
-2×
2
3
=
c
3a
?
b=2a
c=-4a

∴f(x)=ax3+2ax2-4ax,
由图象可知函数y=f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,
2
3
)
上单调递增,在(
2
3
,+∞)
上单调递减,
由f(x)极小值=f(-2)=a(-2)3+2a(-2)2-4a(-2)=-8,解得a=-1
∴f(x)=-x3-2x2+4x
(2)要使对x∈[-3,3]都有f(x)≥m2-14m恒成立,
只需f(x)min≥m2-14m即可.
由(1)可知函数y=f(x)在[-3,-2)上单调递减,在(-2,
2
3
)
上单调递增,在(
2
3
,3]
上单调递减
且f(-2)=-8,f(3)=-33-2×32+4×3=-33<-8
∴f(x)min=f(3)=-33(11分)-33≥m2-14m?3≤m≤11
故所求的实数m的取值范围为{m|3≤m≤11}.
点评:考查学生会用待定系数法求函数的解析式,会利用导数求函数极值,理解函数恒成立时所取的条件.
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设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)
(Ⅰ)f(x)的图象关于原点对称,当x=
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,0)
,(2,0),
(1)求函数f(x)的解析式和极值;
(2)对x∈[0,3]都有f(x)≥mx2恒成立,求实数m的取值范围.

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23
,0)

(I)求f(x)的解析式;
(II)方程f(x)+p=0有唯一实数解,求实数P的取值范围.
(II)若对x∈[-3,3]都有f(x)≥m2-14m恒成立,求实数m的取值范围.

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(1)求a,b,c的值;        
(2)求函数f(x)在[-1,3]上的最值.

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