Question

f（x）是定义在D上的函数，若对任何实数α∈（0，1）以及D中的任意两数x₁，x₂，恒有f（αx₁+（1-α）x₂）≤αf（x₁）+（1-α）f（x₂），则称f（x）为定义在D上的C函数．
（Ⅰ）试判断函数f₁（x）=x²，f2(x)=

1

x

(x＜0)中哪些是各自定义域上的C函数，并说明理由；
（Ⅱ）已知f（x）是R上的C函数，m是给定的正整数，设a_n=f（n），n=0，1，2，…，m，且a₀=0，a_m=2m，记S_f=a₁+a₂+…+a_m．对于满足条件的任意函数f（x），试求S_f的最大值；
（Ⅲ）若（Ⅱ）中S_f的最大值记为h（m），且h（1）+h（2）+…+h（m）≤a对任意给定的正整数m恒成立，试求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f₁（x）=x²是C函数，直接找f（αx₁+（1-α）x₂）-αf（x₁）-（1-α）f（x₂），推出其小于等于0即可；f2(x)=

1

x

(x＜0)不是C函数，采用举反例的方法即可，x₁=-3，x₂=-1，α=

1

2

．
（Ⅱ）先根据定义求出a_n=f（n）的范围，再结合定义即可求出S_f的最大值；
（Ⅲ）结合（Ⅱ）中S_f的最大值为m²+m，可得h（m）随着自变量的增大，函数值也在增大，所以h（m）没有最大值，其和也没有最大值；即可说明所求的a不存在．

解答：解：（Ⅰ）f₁（x）=x²是C函数，证明如下：
对任意实数x₁，x₂及α∈（0，1），
有f（αx₁+（1-α）x₂）-αf（x₁）-（1-α）f（x₂）=（αx₁+（1-α）x₂）²-αx₁²-（1-α）x₂²=-α（1-α）x₁²-α（1-α）x₂²+2α（1-α）x₁x₂=-α（1-α）（x₁-x₂）²≤0．
即f（αx₁+（1-α）x₂）≤αf（x₁）+（1-α）f（x₂）．
∴f₁（x）=x²是C函数．
f2(x)=

1

x

(x＜0)不是C函数，证明如下：
取x₁=-3，x₂=-1，α=

1

2

，
则f（αx₁+（1-α）x₂）-αf（x₁）-（1-α）f（x₂）=f(-2)-

1

2

f(-3)-

1

2

f(-1)=-

1

2

+

1

6

+

1

2

＞0．
即f（αx₁+（1-α）x₂）＞αf（x₁）+（1-α）f（x₂）．
∴f2(x)=

1

x

(x＜0)不是C函数．
（Ⅱ） 对任意0≤n≤m，取x₁=m，x₂=0，α=

n

m

∈[0，1]．
∵f（x）是R上的C函数，a_n=f（n），且a₀=0，a_m=2m
∴a_n=f（n）=f（αx₁+（1-α）x₂）≤αf（x₁）+（1-α）f（x₂）=

n

m

×2m=2n．
那么S_f=a₁+a₂+…+a_m≤2×（1+2+…+m）=m²+m．
可证f（x）=2x是C函数，且使得a_n=2n（n=0，1，2，…，m）都成立，此时S_f=m²+m．
综上所述，S_f的最大值为m²+m．
（Ⅲ）∵h（1）+h（2）+…+h（m）≤a对任意给定的正整数m恒成立
所以只需要a大于等于其最大值即可．
因为h（m）=m²+m，当m是正整数时，函数值随自变量的增大而增大；
所以h（m）没有最大值．
故h（1）+h（2）+…+h（m）也没有最大值．
所以所求a不存在．

点评：本题主要是在新定义下考查恒成立问题．恒成立问题一般有两种情况，一是f（x）＞a恒成立，只须比f（x）的最小值小即可，二是f（x）＜a恒成立，只须比f（x）的最大值大即可．