Question

9．已知函数f（x）=2^x-2^-x，定义域为R；函数g（x）=2^x+1-2^2x，定义域为[-1，1]．
（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性（不必证明）并证明其奇偶性；
（Ⅱ）若方程g（x）=t有解，求实数t的取值范围；
（Ⅲ） 若不等式f（g（x））+f（3am-m²-1）≤0对一切x∈[-1，1]，a∈[-2，2]恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （I）f（x）在R上为增函数；在R上为奇函数；
（II）可知t的范围与g（x）的值域相同，由指数函数的单调性和二次函数的值域求法，即可得到所求范围；
（III）由f（x）的单调性和奇偶性可得，f（g（x））≤f（-3am+m²+1），即有g（x）≤-3am+m²+1对一切x∈[-1，1]，a∈[-2，2]恒成立，（g（x））_max≤（-3am+m²+1）_min，运用单调性求得最值，即可得到m的范围．

解答 解：（I）f（x）=2^x-2^-x在R上单调递增，
因为f（-x）=2^-x-2^x=-f（x），所以f（x）为奇函数；
（II）可知t的范围与g（x）的值域相同，
g（x）=2^x+1-2^2x，令t=2^x∈[$\frac{1}{2}$，2]，
则g（x）=-t²+2t的值域为[0，1]；
（III）由f（g（x））+f（3am-m²-1）≤0
得f（g（x））≤-f（3am-m²-1），
由（I）得f（g（x））≤f（-3am+m²+1），
即有g（x）≤-3am+m²+1对一切x∈[-1，1]，a∈[-2，2]恒成立，
则（g（x））_max≤（-3am+m²+1）_min，
设h（a）=-3am+m²+1，则h（a）≥1对一切a∈[-2，2]恒成立，
若m=0则恒成立；
若m≠0则$\left\{\begin{array}{l}{h（2）≥1}\\{h（-2）≥1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-6m+1≥1}\\{{m}^{2}+6m+1≥1}\end{array}\right.$，
解得m∈（-∞，-6]∪[6，+∞）．
综上所述m的取值范围是（-∞，-6]∪[6，+∞）∪{0}．

点评 本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，考查方程有解和不等式恒成立问题的解法，注意运用函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．