【题目】已知六面体如图所示,平面,,,,,,,,分别是棱,上的点,且满足.
(1)求证:平面平面;
(2)若平面与平面所成的二面角的大小为,求.
【答案】(1)见证明;(2)
【解析】
解法一:(1)连接,设,根据相似三角形以及等分线段性质,即可证明,连接,证明是平行四边形,得到,由两平面平行判定定理即可得到平面平面。
解法二:(1)由题意可得,以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,求出平面的法向量,分别与平面中两个相交向量相乘等于0,即可证明平面平面;
(2)由(1)可得平面的法向量,再求出平面的法向量,进而求得平面与平面所成的二面角的余弦值,由此求出。
解:(1)证法一:连接,设,连接,,
因为,所以,所以,
在中,因为,
所以,且平面,
故平面,
在中,因为,
所以,且,
所以,因为,
所以,所以是平行四边形,
所以,且平面,
所以平面,因为,所以平面平面.
证法二:因为,,,,,所以,
因为,平面,所以平面,
所以,,
取所在直线为轴,取所在直线为轴,取所在直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
由已知可得,,,,
所以,因为,
所以,
所以点的坐标为,
同理可求点的坐标为,
所以,,设为平面的法向量,
则,令,解得,,
所以,
因为,,
所以,且,
所以平面平面
(2) 为平面的法向量.
,
可求平面的一个法向量为
所以,
所以
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【题目】以下关于圆锥曲线的命题中:
①双曲线与椭圆有相同焦点;
②以抛物线的焦点弦(过焦点的直线截抛物线所得的线段)为直径的圆与抛物线的准线是相切的;
③设、为两个定点,为常数,若,则动点的轨迹为双曲线;
④过抛物线的焦点作直线与抛物线相交于、,则使它们的横坐标之和等于5的直线有且只有两条;
以上命题正确的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
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【题目】《中国诗词大会》(第三季)亮点颇多,在“人生自有诗意”的主题下,十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下,百人团齐声朗诵,别有韵味.若《沁园春·长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐·六盘山》排在后六场,且《蜀道难》排在《游子吟》的前面,《沁园春·长沙》与《清平乐·六盘山》不相邻且均不排在最后,则后六场的排法有__________种.(用数字作答)
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【题目】过抛物线的对称轴上一点的直线与抛物线相交于M、N两点,自M、N向直线作垂线,垂足分别为、.
(Ⅰ)当时,求证:⊥;
(Ⅱ)记、、的面积分别为、、,是否存在,使得对任意的,都有成立.若存在,求值;若不在,说明理由.
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【题目】意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人,斐波那契数列被誉为是最美的数列,斐波那契数列满足:,,.若将数列的每一项按照下图方法放进格子里,每一小格子的边长为1,记前项所占的格子的面积之和为,每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为,则下列结论正确的是( )
A.B.
C.D.
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【题目】已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,其中第一项是,接下来的两项是,,再接下来的三项是,,,依此类推那么该数列的前50项和为
A. 1044 B. 1024 C. 1045 D. 1025
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