Question

已知函数f（x）=2lnx-ax²+1
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间及f（x）得最大值；
（2）令g（x）=f（x）+x，若g（x）在定义域上是单调函数，求实数a得取值范围；
（3）试比较

2

ln2

+

2

ln3

+…+

2

lnn

与

3n2-n-2

n(n+1)

（n∈N，n≥2）得大小．

Answer 1

分析：（1）当a=1时，求出导数f′（x），在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即得单调区间，由单调性可得函数最大值；
（2）求出导数g′（x），分情况讨论：若g（x）在定义域上单调递增，则g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立；若g（x）在定义域上单调递减，则g′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，然后分离出参数a后转化为函数最值解决；
（3）由（1）可得不等式a=1时f（x）≤f（1），可得当x＞1时，

2

x2-1

＜

1

lnx

，则n≥2时，

1

lnn

＞

2

n2-1

=

1

n-1

-

1

n+1

，分别令n=2，3，…，n可得n-1个不等式，相加后化简即可得到结论；

解答：解：（1）当a=1时，f′（x）=

2

x

-2x=

-2(x+1)(x-1)

x

（x＞0），
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增，当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）递减，
所以函数f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞），
且当x=1时f（x）取得最大值f（1）=0；
（2）g（x）=2lnx-ax²+1+x，g′（x）=

2

x

-2ax+1=

-2ax2+x+2

x

（x＞0），
若g（x）在定义域上单调递增，则g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，即-2ax²+x+2≥0恒成立，
也即2a≤

2

x2

+

1

x

恒成立，而

2

x2

+

1

x

=2(

1

x

+

1

4

)2-

1

8

＞0，
所以2a≤0，即a≤0；
若g（x）在定义域上单调递减，则g′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，即2a≥

2

x2

+

1

x

恒成立，
因为

2

x2

+

1

x

=2(

1

x

+

1

4

)2-

1

8

＞0，所以此时不等式g′（x）≤0在（0，+∞）上不恒成立，
综上，a的取值范围是a≤0；
（3）

2

ln2

+

2

ln3

+…+

2

lnn

＞

3n2-n-2

n(n+1)

（n∈N，n≥2），证明如下：
由（1）知2lnx-x²+1≤0，即2lnx≤x²-1（x=1时取等号），
则当x＞1时，

2

x2-1

＜

1

lnx

，
所以n≥2时，

1

lnn

＞

2

n2-1

=

1

n-1

-

1

n+1

，
所以

1

ln2

＞1-

1

3

，

1

ln3

＞

1

2

-

1

4

，

1

ln4

＞

1

3

-

1

5

，…，

1

lnn

＞

1

n-1

-

1

n+1

，
以上各式相加得，

1

ln2

+

1

ln3

+

1

ln4

+…+

1

lnn

＞1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n-1

-

1

n+1

=1+

1

2

-

1

n

-

1

n+1

=

3n2-n-2

2n(n+1)

，
所以

2

ln2

+

2

ln3

+…+

2

lnn

＞

3n2-n-2

n(n+1)

．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查学生综合运用知识解决问题的能力，（3）的解决关键是利用（1）问结论构造恰当不等式．