Question

四棱锥P-ABCD中，棱长PD=a，底面ABCD是边长为a的菱形，点M为PB中点
（1）若∠BCP=90°，证明：MD⊥PC；
（2）若∠BCD=90°，∠PDA=PDC=60°，求二面角B-PD-A的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）取PC中点N，连接MN，DN，则MN∥BC，证明PC⊥平面MND，即可得出结论；
（2）令AC∩BD=O，则PO⊥平面ABCD，作OQ⊥PD，连接AQ，则∠AQO为二面角B-PD-A的平面角，利用余弦定理，即可得出结论．

解答： （1）证明：取PC中点N，连接MN，DN，则MN∥BC，
∵∠BCP=90°，∴MN⊥PC，
∵DP=DC，
∴DN⊥PC，
∵MN∩DN=N，
∴PC⊥平面MND，
∵MD?平面MND，
∴MD⊥PC；
（2）解：由题意，底面ABCD为正方形，△PAD与△PCD为正三角形，
令AC∩BD=O，则PO⊥平面ABCD，
作OQ⊥PD，连接AQ，则∠AQO为二面角B-PD-A的平面角，
由题意，AO=

2

2

a，AQ=

3

2

a，OQ=

a

2

，
∴cos∠AQO=

3 4 a2+ a2 4 - a2 2

2× 3 2 a× a 2

=

3

3

．

点评：本题考查线面垂直的判定与性质，考查二面角的平面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．