Question

已知函数f（x）=x+

2

x

，判断f（x）在（0，

2

）上的单调性并加以证明；

Answer 1

分析：单调性的证明要充分利用定义，格式步骤是①在单调区间上设x₁＜x₂，②作差f（x₁）-f（x₂）化简，③判断f（x₁）-f（x₂）的符号进而判断函数的单调性．

解答：解：函数f（x）=x+

2

x

在（0，

2

）上是单调减函数，
下面证明这个判断：
证明：任取x₁，x₂∈（0，

2

），且x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=x1+

2

x1

-（x2+

2

x2

）=（x₁-x₂）+（

2

x1

-

2

x2

）=(x1-x2) •

x1x2 -2

x1x2

∵＜0x₁＜x₂＜

2

，∴x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜2，∴x₁x₂-2＜0，∴(x1-x2) •

x1x2 -2

x1x2

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，

2

）上是减函数．

点评：本题考查了函数的单调性的判断，利用单调性的定义证明函数的单调性；对单调性定义的考查是高考以及各类考试的重点，要给予充足的重视．