Question

已知正三棱台的侧面和下底面所成的二面角为60°，棱台下底面的边长为a，侧面积为S，求棱台上底面的边长．

Answer 1

设O，O₁分别为下，上底面中心，连接OO₁，则OO₁⊥平面ABC，上底面边长为x，连接AO，A₁O₁并延长交BC，B₁C₁分别于D、D₁两点．

则AD⊥BC，连接DD₁，则DD₁⊥BC，∠ADD₁为二面角A－BC－D₁的平面角，即∠ADD₁＝60°，过D₁作D₁E∥OO₁交AD于E，则D₁E⊥平面ABC．

在正△ABC，△A₁B₁C₁中，AD＝，A₁D₁＝．

在Rt△D₁ED中，ED＝OD－OE＝（AD－A₁D₁）＝（a－x）．

则D₁D＝2ED＝（a－x），由题意S＝3·．

即S＝（a²－x²）．解得x＝．