Question

设函数f（x）=-

1

3

x3+x2+(m2-1)x（x∈R），其中m＞0．
（1）当m=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值；
（3）已知函数f（x）有三个互不相同的零点0，x₁，x₂，且x₁＜x₂，若对任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）＞f（1）恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）m=1时，f(x)=-

1

3

x3+x2，f′(x)=-x2+2x，易得函数在所求点的斜率．
（2）当f′（x）≥0，函数单增，f′（x）≤0时单减，令f′（x）=0的点为极值点．
（3）由题意属于区间[x₁，x₂]的点的函数值均大于f（1），由此计算m的范围．

解答：解：（1）当m=1时，f(x)=-

1

3

x3+x2，f′(x)=-x2+2x，
故f'（1）=-1+2=1，所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为1．（2分）

（2）f'（x）=-x²+2x+m²-1，令f'（x）=0，解得x=1-m或x=1+m．
∵m＞0，所以1+m＞1-m，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

∴f（x）在（-∞，1-m），（1+m，+∞）内是减函数，在（1-m，1+m）内是增函数．
函数f（x）在x=1-m处取得极小值f（1-m），且f（1-m）=-

2

3

m3+m2-

1

3

，
函数f（x）在x=1+m处取得极大值f（1+m），且f（1+m）=

2

3

m3+m2-

1

3

．（6分）

（3）由题设，f(x)=x(-

1

3

x2+x+m2-1)=-

1

3

x(x-x1)(x-x2)，
∴方程-

1

3

x2+x+m2-1=0有两个相异的实根x₁，x₂，
故x1+x2=3，且△=1+

4

3

(m2-1)＞0，∵m＞0
解得m＞

1

2

，（8分）
∵x₁＜x₂，所以2x₂＞x₁+x₂=3，
故x₂＞

3

2

＞1．（10分）
①当x₁≤1＜x₂时，f（1）=-

1

3

（1-x₁）（1-x₂）≥0，而f（x₁）=0，不符合题意，
②当1＜x₁＜x₂时，对任意的x∈[x₁，x₂]，都有x＞0，x-x₁≥0，x-x₂≤0，
则f(x)=-

1

3

x(x-x1)(x-x2)≥0，又f（x₁）=0，所以f（x）在[x₁，x₂]上的最小值为0，
于是对任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）＞f（1）恒成立的充要条件是f（1）=m²-

1

3

＜0，
解得-

3

3

＜m＜

3

3

，
∵由上m＞

1

2

，
综上，m的取值范围是（

1

2

，

3

3

）．（14分）

点评：本题较为复杂，主要考查了直线的点斜式，函数的单调性及函数的极值问题，注意掌握知识点间的关系．