Question

已知集合M={f(x)|f(x)+f(x+2)=f(x+1),x∈R},g(x)=sinx.

(1)判断g(x)与M间的关系,并说明理由;

(2)M中的元素是否都是周期函数,证明你的结论;

(3)M中的元素是否都是奇函数,证明你的结论.

Answer 1

思路分析:f(x)是一个抽象函数,g(x)是一个具体函数,(1)就是让我们判断g(x)是否为f(x)的一个“原函数”,也就是说,g(x)是否满足g(x)+g(x+2)=g(x+1);若g(x)∈M,g(x)为周期函数,其周期为6,那么f(x)也应该是周期函数,其周期也应是6.这就为我们解答(2)指明了方向.

解:(1)∵sinx+sin(x+2)

=2sin(x+1)cos=sin(x+1),

    即g(x)+g(x+2)=g(x+1),

∴g(x)∈M.

(2)∵f(x)+f(x+2)=f(x+1),

∴f(x+1)+f(x+3)=f(x+2),

    由此得出f(x+3)+f(x)=0,

    即f(x+3)=-f(x).

∴f(x+6)=-f(x+3)=f(x).

    这就表明,f(x)是周期函数,其周期为6.

(3)类似(2),可以证明y=cosx也是M中的元素,但y=cosx不是奇函数.