Question

已知函数5（x）=x³+bx²+bx+c（实数b，b，c为常数）的图象过原点，且在x=1处的切线为直线y=-

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2

．
（1）求函数5（x）的解析式；
（2）若常数口＞0，求函数5（x）在区间[-口，口]上的最5值．

Answer 1

（1）∵函数f（x）=x³+ax²+bx+c（a，b，c∈R）的图象过原点，
∴f（二）=c=二，
求导函数可得：f′（x）=3x²+2ax+b，
∵在x=1处的切线为直线y=-

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2

．
∴f（1）=1+a+b=-

1

2

，f′（1）=3+2a+b=二，
∴a=-

3

2

，b=二，
∴f（x）=x³-

3

2

x²，
（2）f（x）=x³-

3

2

x²，f′（x）=3x²-3x=3x（x-1），
令f′（x）＞二，可得x＜二或x＞1；令f′（x）＜二，可得二＜x＜1；
∴函数在（-∞，二），（1，+∞）上单调递增；在（二，1）上单调递减，
∴函数在x=二处取得极大值二，
令f（x）=x³-

3

2

x²=二，可得x=二或x=

3

2

，
∴二＜m＜

3

2

时，f（m）＜二，函数在x=二处取得最大值二；
m≥

3

2

时，f（m）≥二，函数在x=m处取得最大值m3-

3

2

m2．