Question

设函数f（x）=2ka^x+（k-3）a^-x （a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．
（1）求k值；
（2）若f（2）＜0，试判断函数f（x）的单调性，并求使不等式f（x²-x）+f（tx+4）＜0恒成立的t的取值范围；
（3）若f（2）=3，且g（x）=2^x+2^-x-2mf（x）在[2，+∞）上的最小值为-2，求m的值．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数的最值及其几何意义,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）运用f（0）=0求解．
（2）根据单调性得出不等式x²-x＞-tx-4，即x²+（t-1）x+4＞0恒成立，
（3）化简得出g（x）=2^x+2^-x-4m（2

x

2

-2-

x

2

）=（2

x

2

-2-

x

2

）²-4m（2

x

2

-2-

x

2

）+2．
换元转化：令t=2

x

2

-2-

x

2

，h（t）=t²-4mt+2=（t-2m）²+2-4m² （t≥

3

2

）
分类讨论求解即可．

解答： 解（1）因为f（x）是定义域为R的奇函数，所以f（0）=0，
所以2k+（k-3）=0，即k=1，检验知，符合条件
（2）f（x）=2（a^x-a ^-x） （a＞0且a≠1）
因为f（2）＜0，a2-

1

a2

＜0，又a＞0且a≠1，所以0＜a＜1
因为y=a^x单调递减，y=a ^-x单调递增，故f（x）在R上单调递减．
不等式化为f（x²-x）＜f（-tx-4）
所以x²-x＞-tx-4，即x²+（t-1）x+4＞0恒成立，
所以△=（t-1）²-16＜0，解得-3＜t＜5．
（3）因为f（2）=3，所以2（a2-

1

a2

）=3，即2a⁴-3a²-2=0，所以a=

2

，
所以g（x）=2^x+2^-x-4m（2

x

2

-2-

x

2

）=（2

x

2

-2-

x

2

）²-4m（2

x

2

-2-

x

2

）+2．
令t=2

x

2

-2-

x

2

，由（1）可知t=2

x

2

-2-

x

2

为增函数，因为x≥2，所以t≥

3

2

，
令h（t）=t²-4mt+2=（t-2m）²+2-4m²  （t≥

3

2

）
若m≥

3

4

，当t=2m时，h（t）_min=2-4m²=-2，∴m=1
若m＜

3

4

，当t=

3

2

时，h（t）_min=

17

4

-6m=-2，解得m=

25

24

＞

3

4

，舍去
综上可知m=1．

点评：本题考查了函数的性质，运用求解数值，判断单调性求解字母的范围，属于中档题，综合性较大．