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已知函数f(x)=ax3+bx2+4x的极小值为-8,其导函数y=f'(x)的图象经过点(-2,0),如右图所示.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)的递增区间
(3)若函数g(x)=f(x)-k在区间[-3,2]上有两个不同的零点,求实数k的取值范围.
分析:(1)求出y=f'(x),因为导函数图象经过(-2,0),代入即可求出a、b之间的关系式,再根据f(x)极小值为-8可得f(-2)=-8,解出即可得到a、b的值;
(2)直接解不等式f′(x)=-3x2-4x+4>0,即可求出函数f(x)的递增区间;
(3)将函数g(x)=f(x)-k在区间[-3,2]上有两个不同的零点,转化成k=f(x)在区间[-3,2]上有两个不同的根,即y=k与y=f(x)的图象在区间[-3,2]上有两个不同的交点,画出函数在区间[-3,2]上的图象,即可求出实数k的取值范围.
解答:解:(1)根据题意可知函数在x=-2处取极小值8
f′(x)=3ax2+2bx+4
f′(-2)=12a-4b+4=0
f(-2)=-8a+4b-8=-8

解得:a=-1,b=-2
∴f(x)=-x3-2x2+4x,
(2)令f′(x)=-3x2-4x+4>0
解得x∈(-2,
2
3
)

∴函数y=f(x)在 (-2,
2
3
)
上单调递增;
(3)∵函数g(x)=f(x)-k在区间[-3,2]上有两个不同的零点,
∴k=f(x)在区间[-3,2]上有两个不同的根
即y=k与y=f(x)的图象在区间[-3,2]上有两个不同的交点
画出函数在区间[-3,2]上的图象
结合图形可知k∈(-3,
40
27
点评:考查学生会用待定系数法求函数的解析式,会利用导数求函数极值,以及函数与方程的思想,属于中档题.
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a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

(1)当a∈[-2,
1
4
)
时,求f(x)的最大值;
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34
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(-∞,-2)
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