Question

【题目】若存在，使得对任意恒成立，则函数在上有下界，其中为函数的一个下界；若存在，使得对任意恒成立，则函数在上有上界，其中为函数的一个上界．如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界．

下述四个结论：①1不是函数的一个下界；②函数有下界，无上界；③函数有上界，无下界；④函数有界．

其中所有正确结论的编号是（ ）

A.①②B.②④C.③④D.②

Answer 1

【答案】B

【解析】

根据函数上界、下界及有界的概念，利用导数判断函数的单调性并求最值，结合选项，利用排除法，对结论①②③④进行逐项判断即可.

对于结论①：当时，由对勾函数的性质知，函数恒成立，所以可得函数对任意恒成立，即1是函数的一个下界，故结论①错误；

对于结论②：因为函数，，所以，所以当时，；当时，，故函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，函数有最小值为，即存在使任意，恒成立，故函数有下界；当时，函数，故函数无上界；因此结论②正确；

对于结论③：因为函数，所以，所以当时，；当时，；当时，；所以函数在 上单调递增；在上单调递减，当时，，所以函数无上界，故结论③错误；

对于结论④：因为函数为周期函数，且，当时，，该函数为振荡函数，所以对任意函数恒成立，故函数有界，故结论④正确.

故选：B