Question

8．已知{a_n}是公差为正的等差数列，且a₃a₆=55，a₂+a₇=16．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）已知a_n=b₁+$\frac{{b}_{2}}{3}$+$\frac{{b}_{3}}{5}$+…+$\frac{{b}_{n}}{2n-1}$（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）{a_n}是公差d＞0的等差数列，由a₃a₆=55，a₂+a₇=16=a₃+a₆．解得：a₃，a₆，再利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）利用递推关系即可得出b_n，再利用等差数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵{a_n}是公差d＞0的等差数列，
∴由a₃a₆=55，a₂+a₇=16=a₃+a₆．
 解得：a₃=5，a₆=11，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=5}\\{{a}_{1}+5d=11}\end{array}\right.$，
解得a₁=1，d=2．
a_n=2n-1．
（2）∵a_n=b₁+$\frac{{b}_{2}}{3}$+$\frac{{b}_{3}}{5}$+…+$\frac{{b}_{n}}{2n-1}$（n∈N^*），
∴a_n-1=a_n=b₁+$\frac{{b}_{2}}{3}$+$\frac{{b}_{3}}{5}$+…$\frac{{b}_{n-1}}{2n-3}$（n≥2），
相减得$\frac{{b}_{n}}{2n-1}$=2，可得b_n=4n-2，
当n=1时，b₁=1，∴b_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{4n-2，n≥2}\end{array}\right.$，
∴n≥2时，S_n=1+$\frac{（n-1）（6+4n-2）}{2}$=2n²-1，
又n=1时，适合上式．
综上所述：S_n=2n²-1．

点评 本题考查了递推关系、等差数列前n项和公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．