Question

【题目】如图，在正三棱柱中，，E，F分别为AB，的中点.

（1）求证：平面ACF；

（2）求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）取AC的中点M，连结EM，FM，然后利用三角形中位线定理，再结合正棱柱的性质，可得四边形为平行四边形，从而可得，再由线面平行定理可证得结果.

（2）设O为BC的中点，则可证得平面，所以，然后代入值计算即可.

（1）证明：取AC的中点M，连结EM，FM，

在中，因为E、M分别为AB，AC的中点，

所以且

又F为的点，，

所以且，

即且，

故四边形为平行四边形，所以.

又平面ACF内，在平面ACF外，

所以平面ACF.

（2）设O为BC的中点，因棱柱底面是正三角形，

所以有，且，

因为正三棱柱，

所以平面ABC，在平面ABC内，所以，

因为，在平面内，

所以平面.

于是.