Question

12．设F₁、F₂分别是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的左、右焦点，若椭圆上存在点A，使∠F₁AF₂=90°，且|AF₁|=3|AF₂|，则椭圆离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{4}$
• B． $\frac{{\sqrt{10}}}{4}$
• C． $\frac{{\sqrt{15}}}{4}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由|AF₁|=3|AF₂|，|AF₁|+|AF₂|=2a，解得|AF₁|，|AF₂|．由∠F₁AF₂=90°，利用勾股定理及其离心率计算公式即可得出．

解答 解：∵|AF₁|=3|AF₂|，|AF₁|+|AF₂|=2a，
解得|AF₁|=$\frac{3}{2}$a，|AF₂|=$\frac{1}{2}a$，
∵∠F₁AF₂=90°，
∴$（\frac{3a}{2}）^{2}+（\frac{1}{2}a）^{2}$=（2c）²，
化为：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{5}{8}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$．
故选：B．

点评 本题考查了椭圆的定义及其标准方程、勾股定理及其离心率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．