Question

已知H（－3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足

⑴当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；

⑵过点T(－1，0)作直线l与轨迹C交于A、B两点，若在x轴上存在一点E(x₀，0)，使得△ABE是等边三角形，求x₀的值．

Answer 1

见解析

解析:

解（1）设点M的坐标为（x，y），则由得

，得。所以y²＝4x 由点Q在x轴的正半轴上，得x>0，所以，动点M的轨迹C是以（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线，除去原点．

   （2）设直线l：y＝k(x＋1)，其中k≠0代入y²＝4x，得k²x²＋2(k²－2)x＋k²＝0      ①

设A（x₁，y₁），B(x₂，y₂)，则x₁，x₂是方程①的两个实数根，由韦达定理得

所以，线段AB的中点坐标为，线段AB的垂直平分线方程为

令  ，所以，点E的坐标为 。因为△ABE为正三角形，所以，点E到直线AB的距离等于

   

所以，