Question

【题目】已知函数f（x）=|x|，g（x）=﹣|x﹣4|+m．
（1）解关于x的不等式g[f（x）]+3﹣m＞0；
（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（2x）图象的上方，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由g[f（x）]+3﹣m＞0得||x|﹣4|＜3，

∴﹣3＜|x|﹣4＜3，

∴1＜|x|＜7，

故不等式的解集为（﹣7，﹣1）∪（1，7）

（2）解：∵函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方

∴f（x）＞g（2x）恒成立，

即m＜|2x﹣4|+|x|恒成立，

∵|2x﹣4|+|x|= ，

∴|2x﹣4|+|x|≥2，

∴m的取值范围为m＜2

【解析】（1）问题转化为﹣3＜|x|﹣4＜3，解出即可；（2）由题意得f（x）＞g（2x）恒成立，即m＜|2x﹣4|+|x|恒成立，通过讨论x的范围求出m的范围即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解绝对值不等式的解法的相关知识，掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．