Question

1．设△ABC的内角A，B，C，的对边分别为a，b，c，满足a（tanA+tanC）+b=btanA•tanC，且角A为钝角．
（1）求A-B的值；
（2）若b=3，cosB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）把已知的等式变形，化切为弦，结合诱导公式可得A-B的值；
（2）由cosB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，结合（1）可得sinA，利用正弦定理求出a，再求出sinC，代入三角形的面积公式得答案．

解答 解：（1）由a（tanA+tanC）+b=btanA•tanC，得a（tanA+tanC）=b（tanA•tanC-1），
即$\frac{tanA+tanC}{1-tanA•tanC}=-\frac{b}{a}$，∴tan（A+C）=-$\frac{b}{a}$，
则-tanB=-$\frac{b}{a}$，$\frac{sinB}{cosB}=\frac{sinB}{sinA}$，
∴sinA=cosB=sin（$\frac{π}{2}+B$），则A=$\frac{π}{2}+B$，
∴A-B=$\frac{π}{2}$；
（2）由A-B=$\frac{π}{2}$，得$A=\frac{π}{2}+B$，
∴sinA=sin（$\frac{π}{2}+B$）=cosB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}=\sqrt{1-（\frac{\sqrt{6}}{3}）^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，即$\frac{a}{\frac{\sqrt{6}}{3}}=\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$，∴a=$3\sqrt{2}$．
sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{\sqrt{6}}{3}×\frac{\sqrt{6}}{3}+（-\frac{\sqrt{3}}{3}）×\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{3}$．
则${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×3\sqrt{2}×3×\frac{1}{3}=\frac{3}{2}\sqrt{2}$．

点评 本题考查两角和与差的正切，考查了同角三角函数基本关系式的应用，训练了三角形面积的求法，是中档题．