Question

已知实数m，n，s，t满足：tm²+4n-3sn-2tlnm=0且3s-t-4=0，则 m²+n²+s²+t²-2ms-2nt的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用,二元二次方程表示圆的条件

专题：转化思想,函数的性质及应用

分析：利用已知条件3s-t-4=0代入tm²+4n-3sn-2tlnm=0，推出函数的关系式，3s-t-4=0看作直线，化简所求表达式化简为直线与函数图象上的点的距离问题，通过函数的导数求出切点坐标，利用点到直线的距离公式求出最小值，即可得到结果．

解答： 解：3s-t-4=0，代入tm²+4n-3sn-2tlnm=0，
可得tm²+4n-n（t+4）-2tlnm=0，即：m²-n-2lnm=0，
令y=n，x=m，可得：y=x²-2lnx，
3s-t-4=0可以看作3x-y-4=0直线，
m²+n²+s²+t²-2ms-2nt=（ m-s）²+（n-t）²，
表达式的最小值就是直线3x-y-4=0上的点与y=x²-2lnx上的点连线的最小值的平方，当直线的平行线与函数的图象相切时，平行线之间的距离最小．
y′=2x-

2

x

，令2x-

2

x

=3，解得x=2，此时y=4-2ln2，
由点到直线的距离公式可得：

|6-4+2ln2-4|

32+12

=

(2-2ln2) 10

10

．
 m²+n²+s²+t²-2ms-2nt的取值范围是：[

2(1-ln2)2

5

，+∞）．
故答案为：[

2(1-ln2)2

5

，+∞）．

点评：本题考查函数与方程的综合应用，考查转化思想以及计算能力，难度大，并且涉及函数的导数的应用．