Question

设n∈N⁺且n≥2，证明：+2[a₁（a₂+a₃+…+a_n）+a₂（a₃+a₄+…+a_n）+…+a_n-1a_n]．

Answer 1

证明：（1）当n=2时，有，命题成立．
（2）假设当n=k（k≥2）时，命题成立，
即+2[a₁（a₂+a₃+…+a_k）+a₂（a₃+a₄+…+a_k）+…+a_k-1a_k]成立，
那么，当n=k+1时，有=
=+2[a₁（a₂+a₃+…+a_k）+a₂（a₃+a₄+…+a_k）+…+a_k-1a_k]+2（a₁+a₂+…
=+2[a₁（a₂+a₃+…+a_k+a_k+1）+a₂（a₃+a₄+…+a_k+a_k+1）+…+a_ka_k+1]．
所以当n=k+1时，命题也成立．
根据（1）和（2），可知结论对任意的n∈N^*且n≥2都成立．
分析：直接利用数学归纳法的证明步骤证明不等式，（1）验证n=2时不等式成立；（2）假设当n=k（k≥2）时成立，利用上假设证明n=k+1时，不等式也成立．
点评：本题是中档题，考查数学归纳法的证明步骤和方法，注意证明n=k+1时，必须用上假设，这是易错点．