Question

一条直线经过点P（3，2），并且分别满足下列条件，求直线方程：
（1）倾斜角是直线x-4y+3=0的倾斜角的2倍；
（2）与x、y轴的正半轴交于A、B两点，且△AOB的面积最小（O为坐标原点）

Answer 1

分析：（1）设出所求直线的倾斜角为θ，已知直线的倾斜角为α，则tanα等于直线的斜率

1

4

，由倾斜角是直线x-4y+3=0的倾斜角的2倍得到θ=2α，利用二倍角的正切函数公式根据tanα的值求出tanθ的值即为所求直线的斜率，然后利用P点坐标和斜率写出直线方程即可；（2）设出直线的截距式方程为

x

a

+

y

b

=1（a＞0，b＞0），然后把P点代入后，根据基本不等式求出ab的最小值即可得到面积的最小值时a与b的值，根据a与b的比值求出直线的斜率，然后根据斜率和P点写出直线方程即可．

解答：解：（1）设所求直线倾斜角为θ，
已知直线的倾斜角为α，则θ=2α，
且tanα=

1

4

，tanθ=tan2α=

2tanα

1-tan2α

=

8

15

，
从而方程为8x-15y+6=0．

（2）设直线方程为

x

a

+

y

b

=1，a＞0，b＞0，
代入P（3，2），得

3

a

+

2

b

=1≥2

6 ab

，得ab≥24，
从而S_△AOB=

1

2

ab≥12，
此时

3

a

=

2

b

，∴k=-

b

a

=-

2

3

．
∴方程为2x+3y-12=0．

点评：考查学生理解直线斜率与倾斜角的关系，灵活运用二倍角的正切函数公式化简求值，会利用基本不等式求函数的最小值．会根据斜率和一点写出直线的方程．