Question

已知f（x）=

3+x 1+x2 ，0≤x≤3 f(3)  ，x＞3

，
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若关于x的方程f（x）-a=0恰有一个实数解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求导函数，求出f'（x）=0的两个根，然后比较大小，确定a的范围，最后根据f'（x）＞0的解集为增区间，f'（x）＜0的解集为减区间；
（2）先把关于x的方程f（x）-a=0只有一个解的问题转化为函数y=f（x）与函数y=a的图象只有一个交点，再利用函数y=f（x）的最大值，看函数y=a的图象满足什么条件时符合要求即可求出对应实数a的取值范围．

解答：解：（1）当x＞3时，f（x）=f（3）是常数，不是单调函数；
当0≤x≤3时，f（x）=

3+x

1+x2

，求导，得f′（x）=-

x2+6x-1

(1+x2)2

，
由f′（x）＞0得，0＜x＜

10

-3，
所以，f（x）的单调递增区间是（0，

10

-3），f（x）单调递减区间是（

10

-3，3）．
（2）由（1）知，f（0）=3，f（x）最大值=f（

10

-3）=

10 +3

2

，f（3）=

3

5

，
方程f（x）=0恰有一个实数解，
等价于直线y=a与曲线y=f（x）恰有一个公共点，
∴a=

10 +3

2

或

3

5

＜a＜3．

点评：本试题考查了分段函数的单调性，以及函数与方程的思想，解决关于方程有实数解的问题的转化与化归能力．运用导数来判定函数单调区间，是我们对于超越函数的一般的研究方法，考查了同学们的基础知识，基本技能和思维能力的综合性．