Question

已知f（x）=acos2x+2cosx-3
（Ⅰ） 当a=1时，求函数y=f（x）的值域；
（Ⅱ）若函数y=f（x）存在零点，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式，将化简f（x）为一个角的一个三角函数的形式：f（x）=2acos²x+2cosx-（3+a）．再用换元法结合二次函数性质求解．
（Ⅱ）令cosx=t，问题转化为y=2at²+2t-（3+a）=0在[-1，1]上有解．利用函数零点的定义，结合函数的图象分类解决．要注意对a取值进行讨论．

解答：解：由已知可得：f（x）=acos2x+2cosx-3=2acos²x+2cosx-（3+a）．
（Ⅰ）当a=1时，f（x）=2cos²x+2cosx-4=2（cosx+

1

2

）²-

9

2

由-1≤cosx≤1，得函数y=f（x）的值域为[-

9

2

，0]
（Ⅱ）函数y=f（x）存在零点，即2at²+2t-（3+a）=0在[-1，1]上有解．
（1）a=0时，方程的解t=

3

2

∉[-1，1]不满足条件
（2）当a≠时，设g（t）=2t2+

2

a

t-（

3

a

+1）
则①当g（-1）g（1）≤0时满足条件，此时有1≤a≤5
②当g（-1）g（1）＞0时时，必有以下四式同时成立
即g（-1）＞0，g（1）＞0，△≥0，-1≤-

1

2a

≤-1．
解得a＞5，或a≤

-3- 7

2

综上可得，a的取值范围为（-∞，

-3- 7

2

）∪[1，+∞）

点评：本题考查三角函数公式、函数零点的求解、二次函数图象与性质的应用，换元法，数形结合，分类讨论的思想方法．