Question

已知抛物线C的顶点是椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的中心，焦点F与该椭圆的右焦点F重合，抛物线C与椭圆的交点为P，延长PF交抛物线C交于Q，
（1）求抛物线C的方程；
（2）求|PQ|的值．

Answer 1

分析：（1）由椭圆的方程可得a²和b²，进而可得c值，可得抛物线C的焦点，可得p值，进而可得抛物线C的方程；
（2）联立椭圆与抛物线的方程可得P的坐标，由斜率公式可得PF的斜率，可得直线PF的方程，再联立直线和抛物线的方程可得Q的坐标，代入两点间的距离公式可得．

解答：解：（1）由椭圆的方程可得a²=4，b²=3，∴c=

a2-b2

=1，
故椭圆的右焦点为F（1，0），即抛物线C的焦点为（1，0），
故可得

p

2

=1，解得p=2，故2p=4，
∴抛物线C的方程为：y²=4x；
（2）联立

x2 4 + y2 3 =1 y2=4x

，解得

x= 2 3 y= 2 6 3

，或

x= 2 3 y=- 2 6 3

，
由对称性不妨取P（

2

3

，

2 6

3

），则可得PF的斜率为k=-2

6

，
故直线PF的方程为：y-0=-2

6

（x-1），即y=-2

6

（x-1），
联立

y=-2 6 (x-1) y2=4x

，解得

x= 2 3 y= 2 6 3

，或

x= 3 2 y=- 6

，
可知Q（

3

2

，-

6

），故|PQ|=

( 2 3 - 3 2 )2+(- 6 - 2 6 3 )2

=

25

6

点评：本题考查抛物线的标准方程以及椭圆的标准方程，涉及两点间的距离公式，属中档题．