Question

1．已知两条直线方程：l₁：ax-y+6=0，l₂：x+ay-4=0
（1）求证：l₁与l₂的交点总在同一个圆C上．
（2）求证：无论a取何值，直线l：（a+1）x-（2a-1）y+6a-9=0恒过定点．

Answer 1

分析 （1）联立$\left\{\begin{array}{l}{ax-y+6=0}\\{x+ay-4=0}\end{array}\right.$，消去a，得x²+y²-4x-6y=0，由此能证明l₁与l₂的交点总在同一个圆C上．
（2）要证明直线过定点的问题，我们可将已知直线的方程化为关于a的一次方程的形式，然后根据方程等0恒成立，则所有系数均为0，求出定点值．

解答 证明：（1）∵两条直线方程：l₁：ax-y+6=0，l₂：x+ay-4=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{ax-y+6=0}\\{x+ay-4=0}\end{array}\right.$，消去a，得x²+y²-4x-6y=0，
它是以（2，3）为圆心，以r=$\frac{1}{2}\sqrt{16+36}$=$\sqrt{13}$为半径的圆，
∴l₁与l₂的交点总在同一个圆C上．
（2）∵直线l：（a+1）x-（2a-1）y+6a-9=0，
∴（x-2y+6）a+（x+y-9）=0，
∵直线l：（a+1）x-（2a-1）y+6a-9=0过定点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+6=0}\\{x+y-9=0}\end{array}\right.$，解得x=4，y=5．
∴无论a取何值，直线l：（a+1）x-（2a-1）y+6a-9=0过定点（4，5）．

点评 要求直线过定点的问题，我们可将已知直线的方程化为关于a的一次方程的形式，然后根据方程等0恒成立，则所有系数均为0，构造方程组求解．