Question

如图，在Rt△PAB中，∠A是直角，PA=4，AB=3，有一个椭圆以P为一个焦点，另一个焦点Q在AB上，且椭圆经过点A、B．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若以PQ所在直线为x轴，线段PQ的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，求椭圆的方程；
（3）在（2）的条件下，若经过点Q的直线l将Rt△PAB的面积分为相等的两部分，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）由题意利用椭圆的定义，求出AQ，推出椭圆的长轴与焦距，即可求椭圆的离心率；
（2）设出椭圆的方程，通过（1）求出a，b，即可得到椭圆的方程；
（3）在（2）的条件下，设出经过点Q的直线l的方程，通过直线将Rt△PAB的面积分为相等的两部分，推出

AC

=3

CP

，求出A的坐标，求出C的坐标，即可求直线l的方程．

解答：解：（1）因为椭圆以P为一个焦点，另一个焦点Q在AB上，且椭圆经过点A、B，
所以由椭圆的定义知|AP|+|AQ|=|BP|+|BQ|，
因此4+|AQ|=5+（3-|AQ|），解得|AQ|=2．
于是椭圆的长轴长2a=4+2=6，焦距2c=|PQ|=

42+22

=2

5

，
故椭圆的离心率e=

2c

2a

=

2 5

6

=

5

3

．
（2）依题意，可设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由（1）知，a=3，c=

5

，∴b=

a2-c2

=2，∴椭圆方程为

x2

9

+

y2

4

=1．
（3）依题意，设直线l的方程为y=k(x-

5

)，
设直线l与PA相交于点C，则S△QAC=

1

2

S△PAB=3，故|AC|=3，|PC|=1，从而

AC

=3

CP

．
设A（x，y），由|AP|=4，|AQ|=2，得

(x+ 5 )2+y2=16 (x- 5 )2+y2=4

，解得A(

3 5

5

，-

4 5

5

)．
设C（x，y），由

AC

=3

CP

，得

x- 3 5 5 =3(- 5 -x) y+ 4 5 5 =-3y

，解得C(-

3 5

5

，-

5

5

)．

∴k=

1

8

，
∴直线l的方程为y=

1

8

(x-

5

)．

点评：本题考查椭圆的基本性质，椭圆方程的求法，直线方程的应用等知识，考查学生分析问题解决问题的能力，计算能力转化思想的应用．