Question

设函数f（x）对任意x，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时f（x）＜0，f（1）=-1
（1）求证：f（x）是奇函数
（2）判断f（x）的单调性并证明
（3）试问当-3≤x≤3时f（x）是否有最值？如果有，求出最值；如果没有说出理由

Answer 1

解：（1）令x=y=0，f（0）=0
令y=-x
∴f（-x）+f（x）=f（0）=0
∴f（x）是奇函数
（2）设x₁＞x₂
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂）＜0
∴f（x）是减函数
（3）f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）=3f（1）=-3
f（-3）=3
由（2）知f（x）是减函数
∴最大值为3，最小值为-3
分析：（1）先令x=y=0，求得f（0），再令y=-x构造f（-x）+f（x）=f（0）得结论．
（2）先设x₁＞x₂，∴由主条件构造f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂）由x＞0时f（x）＜0得证．
（3）由（2）知f（x）是减函数，则在端点处取得最大值和最小值．
点评：本题主要考查抽象函数奇偶性和单调性以及函数最值的求法，这类问题用赋值法和性质的定义比较常见．