Question

圆锥曲线C的离心率为e，且经过点M（3，0），求e分别取

2 2

3

、

2

时曲线C的标准方程．

Answer 1

分析：依题意，分别设出e=

2 2

3

与e=

2

时的曲线C的标准方程，领用曲线C经过点M（3，0），即可求得答案．

解答：解：∵曲线C的离心率e=

2 2

3

∈（0，1），
∴曲线C为椭圆，设其方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1，
∵曲线C经过点M（3，0），
∴a=3，
∴c=2

2

，
∴b=1，
∴曲线C的标准方程为：

x2

9

+y²=1；
当曲线C的离心率e=

2

时，曲线C为双曲线，设其方程为：

x2

a2

-

y2

b2

=1，
同理可求得a=3，c=3

2

，b=3．
∴曲线C的标准方程为：

x2

9

-

y2

9

=1．
∴曲线C的离心率e分别取

2 2

3

、

2

时曲线C的标准方程分别为：

x2

9

+y²=1或

x2

9

-

y2

9

=1．

点评：本题考查双曲线与椭圆的标准方程，求得曲线C的标准方程中的a²，b²是关键，属于中档题．