Question

设f（x）是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，又f（-1）=0，则xf（x）＜0的解集是（　　）

• A、（-1，1）
• B、（1，+∞）
• C、（-1，0）∪（1，+∞）
• D、（-∞，-1）∪（0，1）

Answer 1

分析：由题意，先求出不等式xf（x）＜0在（0，+∞）上的解集，再求出不等式xf（x）＜0在（-∞，0）上的解集．

解答：解：∵f（x）是偶函数，∴f（1）=f（-1）=0；
又∵f（x）在（0，+∞）上是减函数，
∴当0＜x＜1时，f（x）＞0，当x＞1时，f（x）＜0；
∴不等式xf（x）＜0在（0，+∞）上的解集是（1，+∞）；
又f（x）是偶函数，
∴f（x）在（-∞，0）上是增函数，
当-1＜x＜0时，f（x）＞0，当x＜-1时，f（x）＜0；
不等式xf（x）＜0在（-∞，0）上的解集是（-1，0）；
综上，xf（x）＜0的解集是（-1，0）∪（1，+∞）；
故选：C．

点评：本题利用偶函数的性质，考查了不等式的解法，是基础题．