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某同学为研究函数f(x)=
1+x2
+
1+(1-x)2
(0≤x≤1)
0<x<1)的性质,构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC,点P是边BC上的一个动点,设CP=x,则AP+PF=f(x).请你参考这些信息,推知函数f(x)的值域是
[
2
+1
5
]
[
2
+1
5
]
分析:分别在Rt△PCF和Rt△PAB中利用勾股定理,得PA+PF=
1+x2
+
1+(1-x)2
.运动点P,可得A、P、B三点共线时,PA+PF取得最小值;当P在点B或点C时,PA+PF取得最大值.由此即可得到函数f(x)的值域.
解答:解:Rt△PCF中,PF=
CP2+CF2
=
1+x2

同理可得,Rt△PAB中,PA=
1+(1-x)2

∴PA+PF=
1+x2
+
1+(1-x)2

∵当A、B、P三点共线时,即P在矩形ADFE的对角线AF上时,PA+PF取得最小值
AE2+EF2
=
5

当P在点B或点C时,PA+PF取得最大值
2
+1
5
≤PA+PF≤
2
+1,可得函数f(x)=AP+PF的值域为[
5
2
+1
].
故答案为:[
5
2
+1
].
点评:本题以一个实际问题为例,求函数的值域,着重考查了勾股定理和函数的值域及其求法等知识点,属于基础题.
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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•海淀区二模)某同学为研究函数f(x)=
1+x2
+
1+(1-x)2
(0≤x≤1)
0<x<1)的性质,构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC,点P是边BC上的一个动点,设CP=x,则AP+PF=f(x).请你参考这些信息,推知函数的极值点是
1
2
1
2
,函数的值域是
[
5
2
+1
]
[
5
2
+1
]

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科目:高中数学 来源: 题型:

某同学在研究函数f(x)=
2x|x|+1
(x∈R)
时,分别得出如下几个结论:
①等式f(-x)+f(x)=0在x∈R时恒成立;
②函数f(x)的值域为(-2,2);
③若x1≠x2,则一定有f(x1)≠f(x2);
④函数y(x)=f(x)-2x在R上有三个零点.
其中正确的序号有
①②③
①②③

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•海淀区二模)某同学为研究函数f(x)=
1+x2
+
1+(1-x)2
(0≤x≤1)
的性质,构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC,点P是边BC上的一个动点,设CP=x,则AP+PF=f(x).请你参考这些信息,推知函数f(x)的图象的对称轴是
x=
1
2
x=
1
2
;函数g(x)=4f(x)-9的零点的个数是
2
2

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科目:高中数学 来源:浙江省宁波市八校2011-2012学年高二下学期期末联考数学文科试题 题型:022

某同学为研究函数f(x)=(0≤x≤1)的性质,构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC,点P是边BC上的一个动点,设CP=x,则AP+PF=f(x).请你参考这些信息,推知函数g(x)=4f(x)-9的零点的个数是________.

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