Question

4．已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为$\frac{1}{2}$，E的右焦点与抛物线C：y²=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=6．

Answer 1

分析 利用椭圆的离心率以及抛物线的焦点坐标，求出椭圆的半长轴，然后求解抛物线的准线方程，求出A，B坐标，则|AB|可求．

解答 解：椭圆E的中心在坐标原点，离心率为$\frac{1}{2}$，E的右焦点（c，0）与抛物线C：y²=8x的焦点（2，0）重合，
可得c=2，a=4，b²=12，椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$，
抛物线的准线方程为：x=-2，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$，解得y=±3，
∴A（-2，3），B（-2，-3）．
则|AB|=3-（-3）=6．
故答案为：6．

点评 本题考查抛物线以及椭圆的简单性质的应用，考查计算能力，是基础题．