Question

（2003•崇文区一模）已知定义在R上的函数f（x）不恒为零，且满足f（x-2）=f（x+2），f（2-x）=f（2+x），则f（x）（　　）

A．是奇函数不是偶函数，且不是周期函数

B．是偶函数不是奇函数，且不是周期函数

C．是偶函数不是奇函数，且是周期函数

D．不是奇函数也不是偶函数，且是周期函数

Answer 1

分析：由f（x-2）=f（x+2）⇒f（x+4）=f（x），再由f（2-x）=f（2+x）⇒f（-x）=f（x），从而可得答案．

解答：解：由f（x-2）=f（x+2）⇒f（x+4）=f（x）①，
∴f（x）是以4为周期的函数；
∵f（2-x）=f（2+x），用x+2替换x得：
f（4+x）=f（-x），②
由①②得f（-x）=f（x），
∴f（x）是偶函数；
综上知，f（x）是周期为4的偶函数，
故选C．

点评：本题考查抽象函数及其应用，突出考查函数的周期性与奇偶性，考查推理与整体代换思想，属于中档题．