Question

已知向量

a

=(cosα，sinα)，

b

=(1+cosβ，-sinβ)．
（Ⅰ）若α=

π

3

，β∈（0，π），且

a

⊥

b

，求β；
（Ⅱ）若β=α，求

a

•

b

的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

专题：平面向量及应用

分析：（I）由

a

⊥

b

可得

a

•

b

=0，再解出三角函数方程即可；
（II）利用数量积运算可得

a

•

b

，再通过换元法利用二次函数的单调性即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）∵

a

⊥

b

，
∴

a

•

b

=cosα+cosαcosβ-sinαsinβ=0，
∵α=

π

3

，
∴cos

π

3

+cos

π

3

cosβ-sin

π

3

sinβ=0，
整理得cos(β+

π

3

)=-

1

2

．
∴β+

π

3

=

2π

3

+2kπ，（k∈Z）．
∵β∈（0，π），取k=0可得β=

π

3

．
（Ⅱ）∵β=α，
∴

a

•

b

=cosα+cos2α-sin2α=cosα+2cos2α-1．
令t=cosα，t∈[-1，1]，
∴

a

•

b

=2t2+t-1=2(t+

1

4

)2-

9

8

．
∴当t=1时，

a

•

b

max=2，当t=-

1

4

时，

a

•

b

 min=-

9

8

．
∴

a

•

b

的取值范围为[-

9

8

，2]．

点评：本题考查了

a

⊥

b

?

a

•

b

=0、三角函数方程、数量积运算、换元法、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于基础题．