Question

（2007•青岛一模）已知数列{a_n}的前n项和为

S

n

=

n2+3n

2

(n∈N*)，等比数列{b_n}满足b₁+b₂=3，b₄+b₅=24，设cn=

an(n为偶数) bn(n为奇数)

，求数列{c_n}的前2n项和T_2n．

Answer 1

分析：利用

S

n

=

n2+3n

2

(n∈N*)，再写一式，两式相减，可得{a_n}是以2为首项，1为公差的等差数列，在求出等比数列{b_n}的通项，利用分组求和，根据等差数列，等比数列的求和公式，即可得出结论．

解答：解：由Sn=

n2+3n

2

(n∈N*)得：

an=Sn-Sn-1= n2+3n 2 - (n-1)2+3(n-1) 2 =n+1(n≥2)…(2分) ∴an-an-1=(n+1)-[(n-1)+1]=1(n≥2)

又a₁=S₁=2符合a_n=n+1
∴{a_n}是以2为首项，1为公差的等差数列
∴a_n=n+1（n∈N^*）…（4分）
设{b_n}的公比为q，则有

b4+b5

b1+b2

=

b1q3+b1q4

b1+b1q

=q3=8
∴q=2…（6分）
又b₁+b₂=b₁+b₁q=3
∴b₁=1
∴b_n=2^n-1…（8分）
∴T_2n=（b₁+b₃+b₅+…+b_2n-1）+（a₂+a₄+a₆+…+a_2n）
=（1+2²+2⁴+…2^2n-2）+[3+5+7+…+（2n+1）]
=

1-4n

1-4

+

n(3+2n+1)

2

=

4n-1

3

+n2+2n…（12分）

点评：本题考查等差数列、等比数列的通项与求和，考查学生的计算能力，属于中档题．